【中学数学】二次関数 テクニック＆練習問題
二次関数のテクニックまとめ
二次関数で役立つテクニックを7つまとめました。
ぜひご活用ください。
※問題はテクニックの後ろにあります。
１⃣ 変化の割合を求めるときに使えるテクニック
y=px^2について、
xの値がaからbまで増加するときの変化の割合は
p(a+b)
になる。
２⃣ 放物線と２つ交点をもつ直線の交点のx座標がわかるときに使えるテクニック
放物線y=ax^2と直線の２つの交点のx座標がp,qのとき、
直線の式は
y=a(p+q)－apq
で求められる。
３⃣ 放物線と直線の交点が１つだけのときのテクニック
放物線y=ax^2と点（t,at^2)で接する接線の方程式は、
y=2atx-at^2
で求められる。
４⃣ 座標上の三角形を簡単に求めるテクニック
下の図のように原点に頂点がある座標上の三角形は、
1/2(ad－bc)
で求められる。
原点に頂点がない三角形も平行移動を使うことでこのテクニックを使えます。
※面積が負の数になったときは絶対値が面積の答えになります。
５⃣ 線分の中点を求めるときに使えるテクニック
線分ABの中点は
｛（点Aのx座標＋点Bのx座標）÷２ ，（点Aのy座標＋点Bのy座標）÷２ ｝
で求められる。
６⃣ 四角形の面積を二等分する線を求めるときに使えるテクニック
四角形の面積を二等分する線は四角形の
上底の中点と下底の中点を結んだ線分の中点を必ず通る。
７⃣ 円錐の中心角、表面積を求めるときに使えるテクニック
円錐の中心角は
母線÷底面の円の半径×360
円錐の表面積は
π(母線＋半径)×半径
で求められる。
二次関数の問題
問１
関数 y=ax^2が、x=5のときy=20である。このときのaの値は？
問１の解答と解説を表示する
x=5、y=20をy=ax2に代入すると、
20=25a
a=4/5
問２
関数 y=3x^2について、xが4から10まで変化したときの変化の割合は？
問２の解答と解説を表示する
テクニックを使って、
3(4+10)
=42
問３
関数 y=3x^2と直線y=5xはxの値がnからn+4に変化するときの変化の割合が等しい。
このときのnの値は？
問３の解答と解説を表示する
y=3x2について、xがnからn+4に増加するときの変化の割合は
3(n+n+4)=6n+12
y=5xの変化の割合は必ず5なので
6n+12=5
6n=－7
n=－7/6
問４
関数 y=－7x＋bと関数 y=ax^2のxの変域が－1≦x≦5のとき、２つの式のyの変域が一致する。このときのaの値は？
問４の解答と解説を表示する
y=－7x＋bは、xが5のときにy=－35＋bとなって最小になり、－1のときにy=7+bとなって最大になる。よって、yの変域は －35＋b≦y≦7+b
y=ax2は、xが0のときにy=0となって最小になり、5のときにy=25aとなって最大になる。よって、yの変域は 0≦y≦25a
不等式の左側を比較すると
－35＋b=0
b=35
右側を比較すると
7+b=25a
b=35を代入して、
42=25a
a=42/25
問５
放物線y=5/3x^2とx軸と平行な直線の交点のうちx座標が正の交点を点Aとする。
点Aのy座標がx座標の２倍になるとき、x軸と平行な直線の方程式は？
問５の解答と解説を表示する
点Aのx座標をtとする。放物線5/3x2はy軸について対称なので、x座標が負の交点のx座標は－t。
よって線分ABの長さは2t。線分ABと点Aのy座標は等しいので
5/3t2=2t
これを解くと、t=(0,6/5)になる。
t=0は問題に適さない。よって、x=6/5
問６
放物線y=－x^2上に点A(2,n)と点Bをy軸で頂角が二等分されない二等辺三角形ができるようにとる。
このときの点Bの座標は？
問６の解答と解説を表示する
x=2をy=－x2に代入すると、
y=－4 よって、A(2,－4)
二等辺三角形の垂線は底辺を二等分するので、原点と点Aの線分が直線ABと垂直に交わればよい。
原点と点Aの中点は{(2+0)/2,(－4+0)/2}=1,－2 よって、傾きは－2。
垂直に交わる２線の傾きの積は－１なので、点Bと中点を通る直線の傾きをaとすると、
－2✕a=－1
a=1/2
y=1/2x+bに中点の座標を代入して、
－2=1/2+b
b=－5/2
よって、直線の方程式はy=1/2x－5/2になる。 この式にy=－x2を代入して、
－x2=1/2x－5/2
－2x2=x－5
－2x2－x+5=0
解の公式を用いて、
x=(－1±√41)/4
