中学 数学 二次方程式 テストで使えるテクニックと問題

中学の数学・方程式が超わかる本 びっくりするほど説明がていねい！ [ 飯田圭一 ]

二次方程式のテクニック

1⃣

ax^2+bx+c=0（a≠０）でbが偶数のときに使えるテクニック

b÷２＝ｂ'とすると、下のように解の公式を使った計算を簡単にできる。

ｘ=b'±√(b'^2－ac)/a

2⃣

二次方程式の解と係数のどちらかがわかっているときに使えるテクニック

二次方程式の２つの解をｐ、ｑとすると、

p+q=－b/a　pq=c/a

が成り立つ。

証明

ax^2+bx+c=0（a≠０）

を変形すると

x^2+bx/a+c/a・・・①

二次方程式の２つの解をｐ、ｑとすると、方程式は

(x-p)(x-q)＝０

となる。

この方程式を展開すると、

x^2－(p+q)x+pq=0・・・②

①と②の式を比較する。

3⃣

二次方程式の解が１つだけのときに使えるテクニック

二次方程式の解が１つだけのとき、

b^2－4ac＝０

が成り立つ。

二次方程式の問題

1⃣

x^2－6x+9＝０を解きなさい。

2⃣

(x+3)^2－√3(x+3)=0を解きなさい。

3⃣

(x+7)^2－6=0を解きなさい。

4⃣

x^2+8x+11=0を解きなさい。

5⃣

xについての二次方程式5x^2+bx+8=0の解の１つが3/5であるとき、もう一つの解の値を求めなさい。また、bの値を求めなさい。

6⃣

xについての二次方程式x^2+bx－ｃ=0の解が1,6であるとき、x^2+cx+b＝０を解きなさい。

7⃣

2x^2=－9x

     2x=－9

       x=－9/2

上の式のには正しくない計算がある。どのような間違いをしているか。また、その理由を答えなさい。

8⃣

二次方程式x^2+ax+a＝０の解が１つのとき、xの値を求めなさい。ただし、aは自然数である。

9⃣ある２つの数を足すと－８、掛けると１１になった。

この２つの数を求めなさい。

⑩

25gの食塩と75gの水を混ぜて100gの食塩水を作った。

次に、この食塩水xｇを捨て同じ量の水を入れた。

さらにもう一度2xｇの食塩水を捨て同じ量の水を入れたときの食塩水の濃度が7％になった。

xの値を求めなさい。

解答

１⃣　x=3

２⃣　x=－3,－3＋√3

3⃣　x=－7±√6

4⃣　x=－4±√5

5⃣　もう一つの解=8/3、b=－49/3

6⃣　x= 7,–1

7⃣　両辺をxで割っている。理由(例)０をxで割ることはできないから。

8⃣　x=－2

9⃣　x=－4±√6

⑩　x＝30

解説

１⃣　

x^2－6x+9＝０

　（x－3)^2=0

            x－3=0

                 x=3

２⃣

(x+3)^2－√3(x+3)=0

    (x+3)(x+3－√3)=0

                           x=－3,－3+√3

3⃣

(x+7)^2－6=0

      (x+7)^2=6

             x+7=±√6

                  x=－7±√6

４⃣

x^2+8x+11=0

解の公式を使って、

x=－4±√5

５⃣

もう一つの解の値をaとすると、２⃣のテクニックを使って、

3/5a=8/5

    3a=8

      a=8/3

また、

－b/5=3/5+8/3

－b/5=9/15+40/15

－b/5=49/15

－3b=49

　　b=－49/3

６⃣

２⃣のテクニックを使って、

b=－7,c=－6

x^2+cx+b＝0に代入すると、

x^2－6x－7＝０

 (x－7)(x+1)=0

                 x=7,－1

８⃣

テクニック３⃣を使って、

a^2－4a=0

a^2－4a+4=4

(a－2)^2=4

a－2=±2

a=4,0 aは自然数なので、a=4

x^2+ax+a＝０に代入すると、

x^2+4x+4＝０

    (x+2)^2=0

               x=－2

９⃣

２つの数をx.yとすると、

x+y=－8

xy=10

テクニック２⃣を使って、

２つの式をx^2+bx+cに代入する。

b=8,c=10

代入すると、

x^2+8x+10

解の公式を使って、

x=－4±√6

⑩

最初の食塩水の濃度は25%。

xg捨てた食塩水に含まれている食塩の量は

25×(100－x)/100=(100－x)/4

2xg捨てた食塩水に含まれている食塩の量は

(100－x)/4×(100－2x)/100

=(100－x)(100－2x)/400

よって、

 (100－x)(100－2x)/400=100×7/100

 (100－x)(100－2x)/400=7

10000-200x-100x-2x^2=2800

         2x^2－300x+7200=0

           x^2－150x+3600=0

              (x－120)(x－30)=0

x=120,30

x=120は問題に適さない。

よって、x=30

<終>